โครงสร้างและธรรมชาติของคณิตศาสตร์
โครงสร้างของระบบคณิตศาสตร์(Mathematical System Structure)
อนิยาม (Undefined Terms)อนิยาม (Undefined Terms) คำที่ไม่สามารถให้คำจำกัดความ ไม่สามารถอธิบายได้ว่าเป็นอย่างไร แต่อาศัยการรับรู้จากประสบการณ์ ความคุ้นเคย หรือทราบได้จากสามัญสำนึก ที่คนส่วนใหญ่เข้าใจตรงกันว่าหมายความว่าอย่างไร หากจะให้ความหมายของคำนั้นจะเกิดความยุ่งยาก จึงไม่มีความจำเป็นต้องอธิบายความหมายอีก
ตัวอย่าง เช่น จุด เส้นตรง ระนาบ เซต สมาชิก เป็นสมาชิก
บทนิยาม (Defined Terms)
บทนิยาม (Defined Terms) หมายถึง คำหรือข้อความที่มีการให้ความหมายหรือคำจำกัดความไว้อย่างชัดเจน เพื่อทุกคนจะได้มีความเข้าใจที่ตรงกัน
ตัวอย่าง
“รูปสามเหลี่ยม” คือ รูปที่ประกอบด้วยจุด 3 จุด และเส้นตรง 3 เส้น และแต่ละเส้นมีจุดที่ปลาย 2 จุด และทั้ง 3 จุดไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน
"รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว" คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้านบทนิยามที่ดีต้องมีความเป็นสากล และเมื่อกำหนดขึ้นมาแล้วจะต้องไม่มีข้อโต้แย้งใด
หลักเกณฑ์ในการสร้างบทนิยาม
1.บทนิยามที่ดีต้องระบุสมบัติที่เด่นชัดลงไปให้เห็น เพื่อที่จะทำความเข้าใจได้ง่ายและชัดเจน
2. บทนิยามที่ดีต้องสั้น กะทัดรัด และประหยัดคำ
3. บทนิยามที่ดีจะต้องย้อนกลับได้
4. บทนิยามที่ดีจะต้องไม่มีข้อโต้แย้ง
สัจพจน์ (Axiom / postulate)
สัจพจน์ (Axiom / postulate) หมายถึง ข้อความที่ตกลงกันและยอมรับว่าเป็นความจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ และนำไปอ้างเพื่อการพิสูจน์ข้อความอื่นว่าเป็นความจริงได้ สัจพจน์แยกได้เป็น ๓ แบบ คือ
- สมมติฐาน/ข้อสมมติ
- สิ่งที่เห็นจริงแล้ว
- ข้อตกลงหรือกติกา
ทฤษฎีบท (Theorem)
ทฤษฎีบท (Theorem) หมายถึง ข้อความที่ยอมรับว่าเป็นความจริงโดยที่ข้อความเหล่านี้ได้มีการพิสูจน์โดยอาศัยจากทฤษฎีบท นิยาม สัจพจน์ และวิธีการอย่างมีเหตุผล และข้อพิสูจน์นั้นเป็นการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล
